Persamaan Aljabar Simultan

Persamaan aljabar simultan merupakan persamaan aljabar yang mempunyai lebih dari satu persamaan dan harus diselesaikan secara simultan. enyelesaian persamaan aljabar simultan merupakan suatu metode untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari beberapa persamaan aljabar linear. Ketika jumlah persamaan berjumlah 2 buah dan variabel yang dicari berjumlah 2 buah, mungkin kita masih bisa menyelesaikan dengan sederhana, namun apabila jumlah persamaan sudah berjumlah cukup banyak dan variable yang harus dicari juga semakin banyak, maka kita akan menemui kesulitan untuk menyelesaikannya secara manual. Untuk itu kita membutuhkan bantuan komputer untuk menyelesaikannya.


Pada umumnya, jenis persamaan aljabar simultan dapat diselesaikan dengan metode cramer dan metode eliminasi gauss

Metode cramer

Untuk suatu himpunan persamaan linier simultan:

•                                     a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ……….+ a_1nx_n = b₁
•                                     a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ……….+ a_1nx_n = b₂
•                                     a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ……….+ a_1nx_n = b₃
•                                     ……………………………………………….
•                                     a_n1x₁ + a_n2x₂ + a_n3x₃ + ……….+ a_nnx_n = b_n

dalam bentuk matrik dapat ditulis :
Cramer (penyelesaian persamaan linier dengan determinan) menyatakan:

dimana D = det matrik A dari suatu sistem n buah persamaan linier ¹ 0, dan D₁ adalah determinan yang diperoleh dari D dengan kolom ke k dari D oleh yang unsur-unsurnya adalah b₁, …….., b_n

Eliminasi gauss 

Misalkan terdapat 3 buah persamaan linear sebagai berikut 

a₁₁ x₁  + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ = a₁₄

a₂₁ x₁ +  a₂₂ x₂ + a₂₃ x₃ = a₂₄

a₃₁ x₁ +  a₃₂ x₂ + a₃₃ x₃ = a₃₄

Himpunan penyelesaian dari 3 buah persamaan linear di atas adalah mendapatkan nilai x₁ , x₂ , dan x₃ . Untuk mendapatkan himpunan penyelesaian tersebut, maka digunakan metode eliminasi gauss sebagai berikut :

Kita harus terlebih dahulu menuliskan dalam bentuk matriks

                     

Dari matriks di atas, penyelesaian menggunakan metode eliminasi gauss harus membentuk matriks seperti ini
 

                      

Agar matriks berubah menjadi seperti di atas, maka berikut langkah-langkahnya :

‘Eliminasi pertama

Tentukan nilai U₁ = a₂₁ / a₁₁ , sehingga

b₂₁ = a₂₁ – (U₁ . a₁₁)

b₂₂ = a₂₂ – (U₁ . a₁₂)

b₂₃ = a₂₃ – (U₁ . a₁₃)

b₂₄ = a₂₄ – (U₁ . a₁₄)

‘Eliminasi kedua

Tentukan U₂ = a₃₁ / a₁₁

c₃₁ =  a₃₁ – (U₂ . a₁₁)

c₃₂ = a₃₂ – (U₂ . a₁₂)

c₃₃ = a₃₃ – (U₂ . a₁₃)

c₃₄ = a₃₄ – (U₂ . a₁₄)

Setelah eliminasi pertama dan kedua maka susunan persamaan linear menjadi

a₁₁ x₁  + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ = a₁₄

b₂₁ x₁ +  b₂₂ x₂ + b₂₃ x₃ = b₂₄

c₃₁ x₁ +  c₃₂ x₂ + c₃₃ x₃ = c₃₄

dimana nilai b₂₁ dan c₃₁ adalah nol, tapi nilai c₃₂ masih belum nol sehingga untuk membuat nilai c₃₂ adalah nol, dibutuhkan eliminasi ketiga sebagai berikut :

Tentukan U₃ = c₃₂ / b₂₂

d₃₁ = c₃₁ – ( U₃ . b₂₁ )

d₃₂ = c₃₂ – (U₃ . b₂₂)

d₃₃ = c₃₃ – (U₃ . b₂₃)

d₃₄ = c₃₄ – (U₃ . b₂₄)

Sehingga persamaan sekarang telah menjadi 

a₁₁ x₁  + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ = a₁₄

b₂₁ x₁ +  b₂₂ x₂ + b₂₃ x₃ = b₂₄

d₃₁ x₁ +  d₃₂ x₂ + d₃₃ x₃ = d₃₄

sehingga matriksnya sekarang menjadi 

                      

Untuk mendapatkan nilai x₁ , x₂ , dan x₃ maka dibutuhkan substitusi balik sebagai berikut :

x₃ = d₃₄ / d₃₃

x₂ = ( b₂₄  - x₃ . b₂₃ ) / b₂₂

x₁ = ( a₁₄ – a₁₃. x₃ – a₁₂ . x₂ ) / a₁₁

Sehingga nilai x₁ x₂ x₃ dapat diketahui.