Integrasi Numerik

integrasi numerik itu adalah suatu cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan. Bentuk umum integrasi numerik dari suatu fungsi f (x) atas suatu interval [a, b] adalah suatu jumlahan berbobot dari nilai-nilai fungsi di berhingga (n+1) titik diskrit dan dinamakan kuadratur. Berikut persamaannya:

 

Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. Integral ini secara definitif digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Perhatikan gambar berikut :

 Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan :

Pada beberapa permasalahan perhitungan integral ini, dapat dihitung secara manual dengan mudah, sebagai contoh :

 Secara manual dapat dihitung dengan :

Tetapi pada banyak permasalahan, integral sulit sekali dihitung bahkan dapat dikatakan tidak dapat dihitung secara manual, sebagai contoh :

Dalam hal ini, metode numerik dapat digunakan sebagai alternatif untuk menyelesaikan integral di atas. Pada penerapannya, perhitungan integral ini digunakan untuk menghitung luas area pada peta, volume permukaan tanah, menghitung luas dan volume-volume benda putar dimana fungsi f(x) tidak ditulis.

Metode Integrasi Trapezoida

Pada metode trapezoida ini setiap bagian dinyatakan sebagai trapezium seperti gambar berikut :

Luas trapezium ke-i (Li) adalah

Dan luas keseluruhan dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua bagian trapezium.

sehingga diperoleh :

Algoritma Metode Integrasi Trapezoida adalah:
(1) Definisikan y=f(x)
(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
(3) Tentukan jumlah pembagi n
(4) Hitung h=(b-a)/n

(5) Hitung  

Metode Integrasi Simpson

Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan metode integrasi trapezoida, hanya saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi berupa dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat di titik tengahnya seperti telihat pada gambar berikut ini. Atau dengan kata lain metode ini adalah metode rata-rata dengan pembobot kuadrat.

 Bila menggunakan trapesium luas bangun di atas adalah :

 Pemakaian aturan simpson dimana bobot fi sebagai titik tengah dikalikan dengan 2 untuk menghitung luas bangun diatas dapat dituliskan dengan :

 Perhatikan gambar berikut:

Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

 atau dapat dituliskan dengan:

Algoritma Metode Integrasi Simpson adalah:
(1) Definisikan y=f(x)
(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
(3) Tentukan jumlah pembagi n
(4) Hitung h=(b-a)/n
(5) Hitung

Sekilas tentang integrasi numerik, Smoga bermanfaat.......